Bac à Maths

bobdémaths · Sam 03 Fév, 2007 12:36:43

Bonjour

J'ai quelques difficultés pour trouver :

$\lim\limits_{x \to \infty } \left( \left( x+1 \right) ^{ \frac{1}{x}} - x^{ \frac{1}{x}} \right) \left( x.ln(x) \right) ^{2} \right) / \left( x^{x^{ \frac{1}{x} } } -1 \right)$

Si vous avez des idées pour démarrer... smile

pp · Sam 03 Fév, 2007 13:15:52

Bonjour,

Au dénominateur, c'est bien $x^{(x^{\frac{1}{x}})}-1$ ?

bobdémaths · Sam 03 Fév, 2007 14:06:11

Ben à vrai dire je me suis posé la question... Mais il me semble que par convention on interprête $a^{b^c} = a^{(b^c)}$ . AI-je raison ?

waterprof · Sam 03 Fév, 2007 14:28:00

un méchant développement limité ? yikes

bobdémaths · Sam 03 Fév, 2007 15:37:25

Mouais... moi je veux bien mais on ne les a pas encore faits en cours, donc il doit y avoir une autre méthode!

bobdémaths · Dim 04 Fév, 2007 18:43:34

Personne n'a d'idée ?

izandril · Lun 05 Fév, 2007 01:00:29

J'imagine que tu n'a pas encore vu le cours sur les équivalents non plus mais sinon je peux proposer ça :

non exempt de fautes ni de lourdeurs

Déjà, $n^{\frac{1}{n}} = \exp\left(\frac{ln(n)}{n}\right) \longrightarrow 1$
D'où $(n+1)^{\frac{1}{n}}-n^{\frac{1}{n}} \sim n^{\frac{1}{n}} \left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}} - 1 \right] \sim \exp\left({\frac{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}{n}\right) - 1 \sim \frac{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}{n}$
Donc $(n+1)^{\frac{1}{n}}-n^{\frac{1}{n}} \sim \frac{1}{n^2}$ et,

$\fbox{\left((n+1)^{\frac{1}{n}}-n^{\frac{1}{n}}\right)\left(n \ln(n)\right)^2 \sim \ln(n)^2}$

De plus, $n^{n^{\frac{1}{n}}} = n \times n^{n^{\frac{1}{n}}-1} = n \times \exp\left(\ln(n) \left(n^{\frac{1}{n}}-1\right)\right)$
Or $\ln(n) \left(n^{\frac{1}{n}}-1\right) \sim \ln(n) \times \frac{\ln(n)}{n} \longrightarrow 0$
Ainsi, $n^{n^{\frac{1}{n}}} \sim n$ , mais $1 = o\left(n\right)$ d'où

$\fbox{n^{n^{\frac{1}{n}}} - 1 \sim n}$

Finalement ta fraction est équivalente à : $\frac{\ln(n)^2}{n}$ , d'où la réponse sans trop se fatiguer.

Dernière modification par izandril (Lun 05 Fév, 2007 16:08:32)

bobdémaths · Lun 05 Fév, 2007 17:31:07

Merci, c'est bien quelque chose dans ce goût-là que je cherchais... Malheureusement je n'ai pas réussi à le trouver en DS (il faut dire qu'il ne restait que 10 minutes...)

Bac à Maths

#1 Sam 03 Fév, 2007 12:36:43

Une limite un peu difficile !

#2 Sam 03 Fév, 2007 13:15:52

Re: Une limite un peu difficile !

#3 Sam 03 Fév, 2007 14:06:11

Re: Une limite un peu difficile !

#4 Sam 03 Fév, 2007 14:28:00

Re: Une limite un peu difficile !

#5 Sam 03 Fév, 2007 15:37:25

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#6 Dim 04 Fév, 2007 18:43:34

Re: Une limite un peu difficile !

#7 Lun 05 Fév, 2007 01:00:29

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#8 Lun 05 Fév, 2007 17:31:07

Re: Une limite un peu difficile !

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